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E.7 Dynamic Analysis using Spring and Mass Elements

E.7.1 SDF System

외력으로 반주기 사인 펄스 입력이 주어질 때, 선형 및 비선형 단자유도계의 해석을 수행한다. 선형계의 물성치는 m = 0.2533 kip-sec2/in. k = 10 kips/in., ζ = 0.05(c = 0.159154 kip-sec/in)이고, 비선형계의 물성치는 Figure E.7.1 과 같이 스프링상수가 탄소성 bilinear 모델로 주어져 있다. 그림과 같이 Spring, PointMass, Damper 요소 조합으로 모델링하였고, Truss 요소를 이용해서 모델링하여 서로 동등한지 비교하였다.

Figure E.7.1 Analysis Model

Table E.7.1 Linear SDF system ($\small \Delta t$ = 0.1 sec)

Time force disp. vel. acc.
0.1 5 0.043667 0.87334 17.467
0.2 8.6603 0.23262 2.9057 23.18
0.3 10 0.61207 4.6833 12.372
0.4 8.6603 1.0825 4.7261 -11.517
0.5 5 1.431 2.2421 -38.162
0.6 0 1.4231 -2.3996 -54.674
0.7 0 0.96218 -6.8184 -33.701
0.8 0 0.19078 -8.6096 -2.122
0.9 0 -0.60438 -7.2935 28.443
1 0 -1.1442 -3.5028 47.372

Table E.7.2 Nonlinear SDF system ($\small \Delta t$ = 0.1 sec)

Time force disp. vel. acc.
0.1 5 0.043667 0.87334 17.467
0.2 8.6603 0.23262 2.9057 23.18
0.3 10 0.61207 4.6833 12.372
0.4 8.6603 1.1144 5.3625 1.2112
0.5 5 1.6215 4.7794 -12.873
0.6 0 1.9892 2.5745 -31.227
0.7 0 2.0952 -0.4531 -29.324
0.8 0 1.9241 -2.9688 -20.989
0.9 0 1.5603 -4.3075 -5.7851
1 0 1.1416 -4.067 10.595

Figure E.7.2 Analysis Results

Input file

  • mck1.inp : Linear SDF System Modeled with Mass, Damper, and Spring

  • mck1n.inp : Nonlinear SDF System Modeled with Mass, Damper, and Spring

  • mck2.inp : Linear SDF System Modeled with Mass, Truss, and Rayleigh Damping

  • mck1modal.inp : Modal Analysis of Linear SDF System Modeled with Mass, Damper, and Spring

E.7.2 Total and Relative Motion in Eartqhuake

지진 해석시 입력되는 지반운동에 따라 상대운동 및 전체운동으로 정식화가 가능하다. 다음은 전체운동으로 정식화된 지진입력시 지배방정식이다.

\[ \mathbf{M} \ddot{\mathbf{u}} + \mathbf{C} \dot{\mathbf{u}} + \mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{0} \tag{E.7.1} \]

지반운동이 방향벡터과 시간운동의 곱으로 가정하면 운동은 다음과 같이 상대운동과 지반운동의 합으로 표현할 수 있다.

\[ \mathbf{u}(t) = \mathbf{u}_{r}(t) + \mathbf{r} u_{g}(t) \tag{E.7.2} \]

여기에서 방향벡터 r은 지반운동의 방향을 나타낸다. 지배방정식을 상대운동 정리하면 다음과 같다.

\[ \mathbf{M} \ddot{\mathbf{u}}_{r} + \mathbf{C} \dot{\mathbf{u}}_{r} + \mathbf{K} \mathbf{u}_{r} = -\mathbf{M} \mathbf{r} \ddot{u}_{g}(t) - \mathbf{C} \mathbf{r} \dot{u}_{g}(t) - \mathbf{K} \mathbf{r} u_{g}(t) \tag{E.7.3} \]

위에서 \(\small \mathbf{Kr} = \mathbf{0}\)은 만족하는데 이는 강체운동에 의미한다. 하지만 질량행렬에 대해서는 \(\small \mathbf{Mr} \neq \mathbf{0}\)이다. 감쇠행렬은 국부댐퍼로 구성되는 경우에는 \(\small \mathbf{Cr} = \mathbf{0}\)을 만족한다. Rayleigh damping을 적용하는 경우에는 \(\small \mathbf{C} = \alpha\mathbf{M} + \beta\mathbf{K}\)이므로 mass proportional damping에 대해서는 \(\small \mathbf{Cr} \neq \mathbf{0}\)이다. 일반적으로 상대운동에 대한 지배방정식은 다음과 같이 \(\small - \mathbf{Mr}{\ddot{u}}_{g}(t)\)만을 고려한다.

\[ \mathbf{M} \ddot{\mathbf{u}}_{r} + \mathbf{C} \dot{\mathbf{u}}_{r} + \mathbf{K} \mathbf{u}_{r} = -\mathbf{M} \mathbf{r} \ddot{u}_{g}(t) \tag{E.7.4} \]

하는데 이는 mass proportional damping이 존재하지 않을 때 전체운동에 대한 지배방정식과 동등한 식이다.

그림은 단자유도 시스템에 대한 예를 나타낸 것이다. 이 예제에서는 단자유도 시스템을 대상으로 정식화에 따른 결과차이를 검토하였다. 입력되는 지진동은 기저선 보정(baseline correction)이 수행된 지진동과 그렇지 못한 지진동을 대상으로 수행되었다.

Figure E.7.3 SDF system with ground input

기저선 보정이 수행된 지진인 Loma Prieta 지진(RSN765_LOMAP_G01090) 사용시 정식화에 따른 응답값을 차이가 없음을 확인할 수 있다. 또한 기저선 보정이 되지않은 El Centro 지진(Caltech version)을 적용할 경우에도 상대변위를 비교할 때 응답값은 동일함을 알 수 있다. 하지만 지점별로 지진동 입력이 다른 경우는 기저선 보정을 적용하지 않는 지진동의 입력은 문제를 유발할 수도 있다. 입력 예제에서는 *Load, TYPE=Earthquake이 상대운동 정식화에서 우항의 \(\small - \mathbf{Mr}{\ddot{u}}_{g}(t)\)를 외부하중으로 가력한다. 반면에 *Load, TYPE=Displacement는 지점에 변위이력을 가력하므로 전체운동 정식화를 사용한다. *Load, TYPE=Displacement를 사용할 때 가속도, 속도, 변위 이력이 필요하다. 만약 이중 1개 이력만 가지고 있다면 Hyfeast에 내장된 수치적분 및 수치미분으로 생성해 낼 수 있다. 예제에서는 이들 모두를 검증하고 있다.

Figure E.7.4 Loma Prieta Earthquake (RSN765_LOMAP_G01090)

Figure E.7.5 Response by Loma Prieta Earthquake (RSN765_LOMAP_G01090)

Figure E.7.6 El Centro Earthquake (Caltech version)

Figure E.7.7 Reponse by El Centro Earthquaek (Caltech version)

Input file

  • gLOMAP.inp: Exmaple using the Loma Priata Earthquaek (RSN765_LOMAP_G01090)

  • gELCEN.inp : Exmaple using the El Centro Earthquake(Caltech version)

E.7.3 Dynamic Analysis of MDF System

AK Chopra (2005)에 소개된 외력으로 계단함수가 주어진 다자유도계의 해석을 수행한다.

Figure E.7.8 MDF System with Load Input

Table E.7.3 Time History Analysis of a MDF system (△t = 0.1 sec)

TIME

(sec)

 u1 u2 u3 u4 u5
hyFeast Chopra hyFeast Chopra hyFeast Chopra hyFeast Chopra hyFeast Chopra
0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.1 -0.0003 -0.0003 -0.0009 -0.0009 -0.0003 -0.0003 0.0051 0.0051 0.0172 0.0172
0.2 -0.0024 -0.0024 -0.0046 -0.0046 0.0028 0.0028 0.0296 0.0297 0.0753 0.0753
0.3 -0.0057 -0.0057 -0.0056 -0.0056 0.0214 0.0214 0.0830 0.0830 0.1682 0.1682
0.4 -0.0025 -0.0025 0.0122 0.0122 0.0660 0.0660 0.1602 0.1602 0.2798 0.2799
0.5 0.0123 0.0123 0.0553 0.0553 0.1366 0.1367 0.2573 0.2574 0.4043 0.4044
0.6 0.0301 0.0301 0.1095 0.1095 0.2270 0.2270 0.3754 0.3755 0.5435 0.5436
0.7 0.0440 0.0440 0.1598 0.1598 0.3221 0.3222 0.5104 0.5105 0.7125 0.7127
0.8 0.0557 0.0557 0.2013 0.2013 0.4084 0.4085 0.6552 0.6553 0.9226 0.9228
0.9 0.0631 0.0631 0.2343 0.2343 0.4900 0.4900 0.8073 0.8075 1.1586 1.1588
1 0.0689 0.0690 0.2683 0.2683 0.5779 0.5780 0.9655 0.9657 1.3919 1.3921
1.1 0.0831 0.0831 0.3176 0.3177 0.6767 0.6769 1.1214 1.1216 1.6065 1.6068
1.2 0.1037 0.1037 0.3810 0.3811 0.7839 0.7841 1.2698 1.2700 1.7972 1.7974
1.3 0.1219 0.1220 0.4402 0.4403 0.8883 0.8885 1.4114 1.4115 1.9674 1.9676
1.4 0.1341 0.1341 0.4838 0.4838 0.9735 0.9736 1.5388 1.5389 2.1339 2.1341
1.5 0.1406 0.1406 0.5095 0.5095 1.0319 1.0319 1.6456 1.6457 2.3011 2.3012
1.6 0.1413 0.1412 0.5200 0.5199 1.0718 1.0718 1.7338 1.7339 2.4461 2.4462
1.7 0.1408 0.1408 0.5291 0.5290 1.1053 1.1053 1.8001 1.8000 2.5469 2.5469
1.8 0.1479 0.1479 0.5486 0.5486 1.1352 1.1352 1.8389 1.8388 2.5954 2.5953
1.9 0.1575 0.1575 0.5705 0.5705 1.1582 1.1582 1.8519 1.8518 2.5929 2.5926
2 0.1600 0.1600 0.5781 0.5781 1.1637 1.1636 1.8404 1.8402 2.5544 2.5540

Input file

  • mdf.inp

E.7.4 Five Story Building

AK Chopra (2009)에 소개된 5층 건물에 대한 시간이력 해석 결과를 비교한다. 층 중량은 100 kips, 층간 스프링 계수는 31.54 kips/in 이고, 지반입력은 AK Chopra(2009)에서 제공하는 E.l Centro(1940) 지진동이다. 전체 행렬을 대상으로 5%의 Ralyeigh감쇠를 적용한 경우(Direct)와 5%의 모달감쇠를 적용한 모달해석을 비교하였고, 1차 및 2차 모드 만을 고려할 때의 결과를 그림으로 표현하였다. 주어진 시스템은 5개의 자유도만을 갖기 때문에 모달해석과 Direct 해석이 서로 같은 해를 가져야 하지만, 감쇠를 고려하는 방식의 차이로 인해 해의 편차가 발생함을 알 수 있다.

Figure E.2.9 Five Story Building(Example from AK Chopra (2009) Section 13.2.6)

Figure E.7.10 Analysis Result

Input file

  • fivestory.inp

References

  1. Example 5.3(pp. 178), Example 5.5 (pp. 188) in Chopra, A. K. (2009). Dynamics of structures: Theory and applications to earthquake engineering (4th ed.). Prentice Hall.

  2. Example 5.3 (pp. 168), Example 5.5 (pp.179) in Chopra, A. K. (1995). Dynamics of structures: Theory and applications to earthquake engineering. Prentice Hall.

  3. Example 15.2 (p.577) in Chopra, A. K. (1995). Dynamics of structures: Theory and applications to earthquake engineering. Prentice Hall.

  4. Section 13.2.6 Exmaple: Five-Story Shear Frame (p.531) in Chopra, A. K. (2009). Dynamics of structures: Theory and applications to earthquake engineering (4th ed.). Prentice Hall.